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# 从单位距离到纳维–斯托克斯方程：AI 数学进入新阶段

> 从单位距离反例到纳维–斯托克斯问题，AI 数学正通过新结果、人类后续研究和形式化证明不断推进。真正发生了什么变化？

By BIG CHANGE Editorial

Published: 2026-09-22T03:48:27.579Z
Updated: 2026-09-22T03:48:27.579Z
Canonical: https://bigchange.ai/blog/ai-mathematics-unit-distance-navier-stokes

![An open notebook pairs a point-and-line geometry sketch with swirling fluid lines, with an orange pencil beside it.](https://bigchange.ai/api/media/file/geometry-fluid-hero-v1.png)
AI-generated conceptual illustration by BIG CHANGE. From geometry to fluid mathematics: conceptual sketches of the article's range, not the actual unit-distance construction, a proof or a fluid simulation.

5 月，一个关于平面上点的问题意外地有了新答案。到 9 月，AI 实验室开始发表有关流体奇点的论证，并提供旨在让计算机检查证明的文件。在这些公告之间，还出现了新的反例、更强的界以及费马大定理的形式化工作。

评价 AI 数学的变化，不能只看有多少猜想被推翻。这些结果回答不同问题，所依据的证据不同，留下的后续工作也不同。一个反例可以推翻原有判断，却不一定找到最优答案；界得到改进可能很重要，但旁边那个著名猜想仍可能悬而未决；计算机检查过的证明可以确立某个命题，却未必说明其中的思想在其他地方有何用途。

本文梳理从 OpenAI 5 月 20 日公布的单位距离结果到 9 月纳维–斯托克斯主张之间的重要进展，资料截至 2026 年 9 月 22 日。文中也包括期间发布的公告和由此开展的研究。本文呈现的是这一系列进展的脉络，并非所有 AI 辅助数学论文的完整清单。我们读过所引用的公告、相关定理表述、研究简介和验证文档，但没有独立审查这些证明，也没有重新构建其形式化文件。

我们的核心判断是，最有力的进展证据有两方面：机器正在产出值得认真审查的数学论证；人们也已经从其中一些论证中发展出更多数学成果。能否形成持续进步，取决于投入多少资源来核查、解释并延伸这些工作。

## 5 月：一个反例为几何问题开辟新路径

单位距离问题很容易想象：在一个平面上放置若干点，计算彼此距离恰好为一个单位的点对。随着点数增加，这样的点对最多能有多少？

OpenAI 在 5 月 20 日的公告中称，一个内部通用推理模型在一组 Erdős 问题上的评估中给出了新的构造。公司还另外发布了一篇由外部数学家撰写的配套论文，介绍他们对论证的研究。第二份文档的存在很重要：读者可以查阅数学家理解和重建了什么，而不只看到实验室对模型的介绍。[OpenAI 的公告](https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/)。

原始论文构造了无穷多个点集，使单位距离点对至少达到 n^(1+δ)，其中 δ 是固定的正数。简单来说，随着点集变大，指数上的提升仍然存在。这推翻了人们猜测的近线性增长。它并未确定每种点数下单位距离的精确最大值；寻找最优界限的更广泛研究仍在继续。[单位距离论文](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf)。

令人意外的是这个构造的来源。配套论文将几何结果与高深的代数数论联系起来，并指出先前数学成果所提供的要素。论文作者给出了更简化、并在一定程度上更一般化的重建。这是 AI 发现之后人类工作的一个有益例子：找出机制、揭示其依赖关系，并将论证整理成其他研究者能够处理的形式。[数学家的配套论文](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf)。

因此，想了解 5 月结果的意义，后续论文和最初公告同样值得关注。一种新方法在研究者用它提出并回答更多问题时，会获得另一种可信度。

## 5 月至 7 月：这些思想开始传播

5 月 27 日，Thomas Bloom、Will Sawin、Carl Schildkraut 和 Dmitrii Zhelezov 发布了一个实数域上和积猜想的反例。粗略地说，这个问题关注一个集合的元素相加或相乘后，集合会扩大多少。他们的构造使两个结果集都能小于猜想所预期的近二次规模。作者明确表示，单位距离反例促使他们重新考虑高次数数域；他们还说明，最终构造所需的数论工具少于早期结果。[和积论文](https://arxiv.org/html/2605.28781v1)。

这是 AI 起源的结果激发人类原创数学研究的一个具体实例。这并不意味着后续论文是由 AI 撰写的；我们也不应把作者的工作并入某个实验室的成果数量，从而抹去他们的贡献。

Cosmin Pohoata 的预印本于 6 月 11 日首次提交，并于 6 月 28 日修订，将这一系列研究延伸到 Elekes–Ró nyai 问题。论文给出一个多项式例子，在适当的集合上，其取值扩张小于预期，并使用近期单位距离与和积构造中的方法。论文明确说明了这些问题之间的联系。[Pohoata 的论文](https://arxiv.org/html/2606.13619v2)。

7 月 6 日，Sungchul Lee、Pohoata 和 Daniel Zhu 发布了关于 Minkowski 网格的后续结果。他们的构造在子集中保留重复距离性质，并对重复距离和等腰三角形问题产生影响。与只展示一个特别丰富的构形、却不探究其内部行为相比，这种结构性质更强。[Minkowski 网格论文](https://arxiv.org/html/2607.05374v1)。

乐观的解读在这里有证据支撑：5 月的结果在几周内就为其他研究者提供了可修改、可复用的材料。我们提出的成功指标，是产生此类可用方法，以及理解它们所需的工作量。只统计解决了多少问题，会遗漏这一区别。

## 7 月：雅可比猜想反例说明为何范围很重要

另一个引人注目的事件围绕雅可比猜想展开。Terence Tao 于 7 月 21 日发表的讲解，分析了使用 Fable AI 产生的一个反例：一个三复变量多项式映射，在小邻域内表现为可逆，但总体上会把不同点映射到同一输出。该猜想的一般性主张在三维及以上失效；二维情形仍未解决。Tao 给出了明确公式，并解释其构造的几何性质。[Tao 的数学讲解](https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/)。

明确的反例可以使其关键矛盾较易通过计算理解。但要发现为什么应当存在这样的例子，以及如何构造相关反例，则需要进一步数学工作。雅可比事件让读者能在已发表材料中看到这两种不同工作。

这一区别在 9 月仍然重要。Arno van den Essen 于 9 月 15 日发布的预印本，提出了一个初等方法，构造出经线性坐标变换后与 Levent Alpöge 所发现例子等价的反例。这是对构造的新解释，并非第二次独立推翻原猜想。[van den Essen 的论文](https://arxiv.org/abs/2609.17795)。

对研究管理者而言，这提示我们应调整奖励重点。资助让复杂发现变得易于理解的人，可能和资助另一轮追逐头条成果的搜索一样，能释放后续研究潜力。这是我们对这一系列事件的判断，并不表示大学已经改变了激励机制。

## 8 月：范围更广的一系列数学主张

OpenAI 于 8 月 1 日发布了涵盖数学和理论计算机科学的十组结果。公司称，这些论证由内部版本的 Astra 生成；人类协同模型准备论文，模型则生成 Lean 证明证书。这与 5 月只公布一项结果的生产过程不同，也明确说明了论文准备方面的贡献。[8 月公告](https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/)。

配套成果集于 8 月 6 日更新，报告了以下内容。以下是论文主张的简介，并非 BIG CHANGE 分别对十项成果作出的认证：

- **球体堆积：**高维情形下更尖锐的渐近上界。
- **二元码与球面码：**针对特定间距的码大小，给出更强的限制。
- **群论：**构造一个非 sofic 群。
- **算子代数：**给出 Connes 刚性猜想的反例。
- **算术复杂性：**对矩阵永久式（permanent）给出更强的电路与公式下界。
- **量子博弈：**一个指数级的平行重复定理。
- **格问题：**针对最近向量问题，给出更强的近似困难性结果。
- **凸几何：**证明 Ehrhart 体积猜想。
- **Ramsey 理论：**给出多色三角形 Ramsey 数的超指数下界。
- **极值图论：**构造紧致性和退化性猜想的反例。

[十项成果研究汇编](https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf)。

成果的广度很重要，但也因此不能简单加总成一个数字。找到反例、改进界限和证明一般性定理，带来的影响各不相同。数学问题难解，并不自动意味着已证明对实际部署的密码系统发动了攻击。应用需要各自独立的推理和证据链。

8 月 10 日，Anthropic 发布了一项与黎曼猜想相关、范围更明确的进展。公司称，一个未发布的 Claude 模型改进了临界线上 ζ 函数零点比例的下界。Anthropic 的数学家审查了工作，外部专家审阅了论文，并完成了形式化。公司明确表示 Claude 并未解决黎曼猜想，也不认为这些技术能够解决该猜想。[Anthropic 的说明](https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta)。

所链接的论文给出的界略高于三分之二，约为 67.25%，并指出所使用的先前解析结果。这是一项渐近数学陈述，并不是声称检查了大量有限零点样本就证明了猜想。区别至关重要：比例下界并不意味着每个相关零点都位于临界线上。[ζ 函数零点论文](https://www-cdn.anthropic.com/95c246936988e43127bc6b2ceb7077c1dad2d68e.pdf)。

其他雄心勃勃的论文也在流传。Alpöge 网站托管的一份文档提出了六维球面上的复结构。其构造可供审查，但我们访问到的版本无法确立可靠的公告日期，也未完整说明 AI 的贡献。因此，我们把它作为一项供读者进一步研究的提案纳入，而不将其列为本时间线中独立确立的里程碑。[六维球面论文](https://alpo.ge/s6.pdf)。

## 9 月初：质数间隙暴露验证边界

一系列公告还涉及质数之间的间隙。Axiom 合作项目于 9 月 3 日发布的初步论文称，有无穷多对相邻质数的间距不超过 212。论文将成果归功于 Julia Stadlmann 的解析工作和此前的 Polymath 项目。Lean 证明证书还把解析估计和一份另行核查的变分证书作为假设。这推进了有界间隙问题；孪生素数猜想要求存在无穷多对间距恰好为 2 的质数。[Axiom 团队的论文](https://primegaps.axiommath.ai/bgp212.pdf)。

OpenAI 公开的 PrimeGaps186 代码库给出了更小的界限，但有一项关键限定。其 Lean 开发依赖三个输入公理，分别涵盖文献中的两项估计和数值积分界。代码库指出，数值证书并未证明这些公理。读者应区分拟议的数学论证，与在指定输入下经过形式化检查的部分。若将这一材料描述为从基础公理出发、无条件且完全形式化的证明，就不准确。[PrimeGaps186 代码库](https://github.com/openai/PrimeGaps186)。

OpenAI 的另一篇论文研究长间隙：相邻质数之间的区间最多可以有多大。论文报告，随着阈值增长，低于该阈值的最大间隙下界得到了改进。这与寻找无穷多对相距较近的质数，是两个不同的极值问题；不能将一个问题上的进展算作解决了另一个问题。[长质数间隙论文](https://cdn.openai.com/pdf/51126fac-1b68-4128-9666-c908bcc16033/long_gaps.pdf)。

这些细节使质数间隙事件尤其值得参考。新闻标题中的两个数字看起来可能像一场简单竞赛。一旦证明所依赖的前提变得清晰，更好的问题是：哪些步骤由哪些方法确立？即便形式化尚未完成，明确列出假设仍然很有价值。

## 9 月 4 日：形式化成为发现故事的一部分

Anthropic 于 9 月 4 日发布的公告涉及一项数学证明早已为人所知的定理：费马大定理。公司所称的成就是，Claude 在 11 天内主要自主地完成了完整的 Lean 形式化。公司介绍了人类指导，以及帮助智能体追踪依赖关系的协作平台，并肯定了这项工作所依据的数学证明传统。[形式化公告](https://www.anthropic.com/research/formalizing-fermats-last-theorem)。

公开代码库提供了比标题更具体的证据。它列出了定理、记录依赖关系，并记载了针对 Lean 标准公理和 Mathlib 定理表述的检查。代码库也说明该发布内容属于未维护的研究成果。我们检查了这些文档，但没有重新运行构建。[费马大定理代码库](https://github.com/anthropics/fermats-last-theorem)。

如果用于生成更多候选论证的工具也能帮助将其形式化，核验能力同样可能扩大。这是一个令人充分乐观的理由。后续研究者获得了可供检查的具体材料，但仍需了解中间结果是否易于复用、依赖关系能否继续构建，以及由谁维护这些成果。生成代码的数量本身无法回答这些问题。

这里还存在一个有意义的机构选择：实验室可以将证明作为模型能力的最终演示发布，也可以支持它成为供他人继续使用的基础设施。这两种方式在发布之后会产生不同义务。维护工作、解释性示例和稳定引用，都应列入研究预算。

## 9 月 8 日：纳维–斯托克斯结果究竟声称了什么

流体问题让这些疑问更加突出。OpenAI 于 9 月 8 日发布、并于 9 月 10 日更新的公告，介绍了一项针对纳维–斯托克斯方程存在性与光滑性问题的拟议解答。公司称，工作由一个内部模型通过协同智能体完成，并发布了书面论证和 Lean 形式化。OpenAI 表示无意申请千禧年大奖。[公告](https://openai.com/index/navier-stokes-solution/)。

该论文研究的是具有正黏性、受到精心构造的外力作用下的三维不可压流体运动。从静止状态出发，拟议解会在有限时间内发展出无界速度，同时总能量保持有界。外力是光滑的，并被限制在特定的空间和时间范围内。其数学构造使用了塌缩涡旋及一系列修正，使剩余外力保持光滑。这些是关于方程解的主张，并非物理实验观察或新工程仿真器的结果。[纳维–斯托克斯论文](https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf)。

外力是理解其适用范围的关键。Charles Fefferman 的 Clay 官方问题说明允许在 C 和 D 两种破裂情形中加入光滑外力；A 和 B 两种全局光滑性情形讨论的是无外力方程。因此，一项属于拟议类型的有效结果，可以回应 Clay 明确允许的一种情形，同时仍未解决无外力的全局正则性问题。称外力无关紧要会夸大定理的结果；称它超出题目范围，则会误述规则。[官方问题说明](https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf)。

OpenAI 还发布了一篇单独的 Euler 方程论证，研究的是没有黏性的理想化流体。论文提出，从光滑初始数据出发，在没有外力的情况下会发生有限时间破裂。Euler 方程与纳维–斯托克斯方程彼此相关，但两篇论文中的假设和结论必须分开讨论。[Euler 论文](https://cdn.openai.com/pdf/315b36cd-ec98-4023-8342-93345194ece1/euler.pdf)。

相关研究史同样重要。欧洲数学会于 9 月 10 日发布的声明肯定了 Córdoba、Martínez-Zoroa、Zheng，以及 Alpöge、Buckmaster 和更早的数学贡献。声明也提出了访问权限、作者身份和贡献归属等问题。若报道从模型名称直接跳到定理，就会遗漏促成这项成果的思想积累。[欧洲数学会声明](https://euromathsoc.org/news/ems-statement-on-recent-navier-stokes-announcement-225)。

9 月 11 日，Clay 对表面上取得的解决进展表示审慎的乐观，并称评估工作和贡献归属将按有意从容的程序进行。这是有意义的机构回应，但并非颁发大奖，也不是宣布该工作各方面的审核都已完成。[Clay 公告](https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/)。

对读者而言，准确结论本身已经足够重要，无需再加油添醋：一家 AI 实验室发布了一项针对公认千禧年问题的拟议证明，并提供可检查的数学材料和形式化材料；主要机构也在认真关注。更广泛的接受、贡献归属和理解工作仍未完成。

![Manuscript pages lead to a magnifying glass over a statement and dependency pages, then to an explanatory book and reusable pages.](/api/media/file/proposal-check-understanding-inline-v2.png)

## 证明检查回答一个精确问题

形式化验证改变了审核者能够获得的证据，也应使相关报道更加精确。

Lean 自己的文档区分了证明有效性与所证明命题的含义。基础检查成功，意味着某个形式化命题能够从其定义和假设推导出来。额外检查可以发现未完成的依赖、审查公理，并将证明与独立指定的命题进行比较。文档介绍了使用外部检查器进行更强验证的方法，同时也指出仍有哪些假设尚未排除。[Lean 验证指南](https://lean-lang.org/doc/reference/latest/ValidatingProofs/)。

设想一位研究者需要一个适用于算法所有输入的界。助手给出一个形式上正确的定理，但它对“可接受输入”的定义排除了一个困难类别。因此，证明本身可以正确，研究者希望将其用于实际问题的做法却仍缺乏依据。这是一个假设示例，说明研究问题与形式化命题之间的转换需要仔细审查。

新颖性需要另一种检查。证明系统无法确定相同论证是否曾以不同术语发表在旧论文中、贡献归属是否完整，或所称的改进是否会对应用产生重要影响。这些判断需要文献研究和专业知识。

因此，我们建议发布重大成果的实验室提供一套可长期使用的材料：用普通数学语言精确陈述主张，提供相应形式化表述（如果有）、证明及其依赖关系，清楚说明人类和模型各自的贡献，并记录审核和修订情况。这是我们提出的报告标准，能让其他研究者明确责任归属，并复现相关检查。

## 咨询组回应日益严重的协调问题

9 月 21 日成立的数学与人工智能咨询组，是在这一背景下发布的。该组称自己保持独立、不领取报酬，并愿意为任何相关 AI 公司提供建议。其眼前任务是就 OpenAI 发布公司称其已取得的更多结果提供建议。该组承诺公开发布建议，并明确表示自己无权在公司内部作决策。Terence Tao 博客上的公告是该组发布的一篇客座文章。[该组声明](https://agmai.org/)。

OpenAI 表示，该组的职责范围包括审核、沟通、评估重要性和成果传播。OpenAI 还称，该组不负责建议公司内部数学研究进展的速度。因此，这一咨询角色应理解为监督和协调渠道，最终决定仍由公司作出。[OpenAI 关于咨询组的公告](https://openai.com/index/advisory-group-on-mathematics-and-ai/)。

这种安排值得欢迎。更好的协调可以减少重复审核、找出合适的专家，并确保成果描述与证据能够支持的内容一致。其局限同样明确：建议需要得到回应，而独立性本身并不带来执行机制。读者应关注公开发布的建议，以及公司如何处理这些建议。

质疑者还关注研究的目的。9 月 11 日发表的《数学与 AI》宣言认为，竞相解决列出的难题，可能会忽视理解能力的发展和未来数学家的培养。签署者指出，思想要变得可教学、可应用，所需的过程面临风险。这是该学科参与者提出的严肃立场，并非一项量化研究，也不能据此说所有 AI 使用已经造成伤害。[宣言](https://mathandai.org/)。

Henry Cohn 在 Tao 博客 9 月 15 日发表的客座文章中提出了相关论点：解释不充分的成果可能给需要吸收它们的研究社群带来大量工作。他也关注承担解释工作的人员会受到怎样的激励。这里同样需要正确标注作者：即便由 Tao 博客托管，文章仍是 Cohn 撰写的。[Cohn 的文章](https://terrytao.wordpress.com/2026/09/15/the-technical-debt-of-ai-generated-mathematics/)。

## 下一个进展应当更容易供他人使用

5 月至 9 月的一系列事件，通过具体案例支撑了一种乐观解读。一个几何反例激发了更多构造；研究者找到了更清晰的方法来解释一个令人意外的多项式映射；形式化则产生了更多可供检查复杂推理的材料。模型输出与数学实践形成富有成效的关系，所需条件已经显现。

悲观情形同样现实：实验室提出结果的速度可能快于其他人理解它们的速度，之后又把公告数量当作已完成的科学贡献。审核可能成为少数专家承担的负担，而资源和声望却流向制造积压的系统。若模型访问受限，发现的生产者与被期待评估发现的人之间的不平衡可能加剧。

我们认为，实验室、资助机构和期刊应衡量研究流程的两面。可以追踪候选发现，也应追踪独立审查、有用的简化、修正后的论证、可复用的形式化库及后续研究。应将成果变得清晰易懂的人列入贡献者。发布更正的持久度，也应与发布公告一样。

如果读者想跟进下一项突破，最能说明问题的提问应当具体：现在，其他研究者能够做哪些过去做不到的事？答案可能是构造一个反例、确立更强保证、核查复杂论证，或教授一种新方法。AI 数学的进展正是在这里转化为数学本身的进展。

## Sources

- [OpenAI：单位距离公告](https://openai.com/index/model-disproves-discrete-geometry-conjecture/) — 2026 年 5 月 20 日。确认发布日，以及公司对模型参与和外部审查的说明。公告中有关优先权和自主性的主张，并非对制作流程各阶段的独立评估。
- [OpenAI：《具有大量单位距离的平面点集》](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-proof.pdf) — 随 5 月 20 日公告发布。摘要和主要定理给出一个无穷点集族，其指数上有固定的正向改进。该反例并未确定精确的极值函数；我们没有审查其证明。
- [Alon 等人：《关于单位距离反例的说明》](https://cdn.openai.com/pdf/74c24085-19b0-4534-9c90-465b8e29ad73/unit-distance-remarks.pdf) — 与 5 月的发布材料一同发布的配套论文。提供经数学家核查的重建、一定程度的简化和一般化，并指出此前的数论成果。阅读论文的主张，与独立核查每个数学步骤是两回事。
- [Bloom、Sawin、Schildkraut 与 Zhelezov：《实数上的和积猜想是错误的》](https://arxiv.org/html/2605.28781v1) — 2026 年 5 月 27 日发布的预印本。引言明确将单位距离反例列为灵感来源。这是人类撰写的后续研究；本文纳入该研究并不表示其证明出自 OpenAI，也不表示它已被期刊接收。
- [Cosmin Pohoata：《分裂素数与 Elekes–Rónyai 问题》](https://arxiv.org/html/2606.13619v2) — 6 月 11 日首次提交，6 月 28 日修订。论文提出多项式扩张反例，并解释如何使用近期构造。所标日期是预印本版本日期，并非声称成果首次公开的日期。
- [Lee、Pohoata 与 Zhu：《Minkowski 网格具有稳定的大量重复距离》](https://arxiv.org/html/2607.05374v1) — 7 月 6 日发布的预印本。给出作者关于子集内稳定保留重复距离性质的主张及其推论。我们概述论文范围和有文献记载的灵感来源，没有独立证明其估计，也未暗示 AI 是作者。
- [Terence Tao：《深入解析雅可比猜想反例》](https://terrytao.wordpress.com/2026/07/21/a-digestion-of-the-jacobian-conjecture-counterexample/) — Tao 于 7 月 21 日发表的数学讲解，包含明确映射和解释。文中区分三维及以上的反例与仍未解决的二维情形。我们没有采用评论区中未经核实的说法。
- [Arno van den Essen：《构造雅可比猜想反例的一种初等方法》](https://arxiv.org/abs/2609.17795) — 9 月 15 日发布的预印本。其所述贡献是用初等方法构造一个经坐标变换后与 Alpöge 例子等价的反例。这是解释性的后续工作，并非发现另一个无关反例的证据。
- [OpenAI：《数学与理论计算机科学领域的十项进展》](https://openai.com/index/ten-advances-in-mathematics/) — 8 月 1 日公告。介绍其所称内部模型、人类论文准备工作和模型形式化之间的分工。本文不采用公司的令牌成本比较，也不把该公告视作独立同行评审。
- [OpenAI：《十项进展研究汇编》](https://cdn.openai.com/pdf/ten-proofs-oai.pdf) — 研究汇编于 8 月 6 日更新，晚于 8 月 1 日的公告。本文精简列表概述所报告的十个领域。我们阅读了摘要、目录和部分定理表述，并未以审稿人身份通读全部 253 页。
- [Anthropic：了解 Claude 的数学能力进展](https://www.anthropic.com/research/riemann-zeta) — 8 月 10 日发布、8 月 13 日更新的公告，介绍了 ζ 函数零点研究及人工检查，并明确表示黎曼猜想仍未解决。有关模型工作过程和验证的说明均归因于 Anthropic。
- [Claude／Anthropic：《黎曼 ζ 函数的零点》](https://www-cdn.anthropic.com/95c246936988e43127bc6b2ceb7077c1dad2d68e.pdf) — 论文日期为 8 月 11 日，由 8 月 13 日更新的公告链接。摘要和定理 A 区分了渐近比例、零点是否单重，以及零点是否位于临界线上。修正后的常数约为 0.6725；论文没有证明完整的黎曼猜想。
- [Alpöge 托管的六维球面论文](https://alpo.ge/s6.pdf) — 截至 9 月 22 日查阅的未注明日期版本。标题和开篇提出六维球面上的一种拟议复结构。我们无法根据该文档确认可靠的发布日期或 AI 贡献的全貌，因此只将其列作一项尚待核实的提案。
- [Charton 等人：《质数小间隙的新界》](https://primegaps.axiommath.ai/bgp212.pdf) — 9 月 3 日的初步草稿。摘要和定理 1.1 提出了 212 的间距界，并致谢先前工作。附录 A 的 Lean 证书将解析输入和一份另行检查的变分证书作为假设；它并非从基础公理出发的完全形式化证明。
- [OpenAI：PrimeGaps186 代码库](https://github.com/openai/PrimeGaps186) — 截至 9 月 22 日核查的当前代码库。README 明确指出 Lean 开发中有三个尚未证明的输入公理。数值证书并未解决这些公理。我们检查了文档，但没有运行构建或数值证书。
- [OpenAI：《相邻质数之间的大间隙》](https://cdn.openai.com/pdf/51126fac-1b68-4128-9666-c908bcc16033/long_gaps.pdf) — 链接自 9 月 3 日的 Astra 发布材料。其定理讨论的是低于递增阈值的最大质数间隙的下界。这与小间隙或孪生素数主张不同；我们没有独立核查证明。
- [Anthropic：《费马大定理的形式化》](https://www.anthropic.com/research/formalizing-fermats-last-theorem) — 9 月 4 日公告。报告了为期 11 天的形式化工作，并介绍协调和人工指导。这项工作是对已知数学进行验证；所述用时和自主程度来自实验室自己的说明。
- [Anthropic：费马大定理代码库](https://github.com/anthropics/fermats-last-theorem) — 截至 9 月 22 日核查的当前代码库。记录定理表述、依赖关系、公理检查及与 Mathlib 表述的比较，并将该发布内容标为未维护的研究成果。我们没有重新构建或独立验证形式化证明。
- [OpenAI：《关于纳维–斯托克斯千禧年大奖问题》](https://openai.com/index/navier-stokes-solution/) — 9 月 8 日发布、9 月 10 日更新的公告，确立实验室的主张、基于智能体的制作过程说明，以及不申请大奖的决定。我们不裁定私下的来源归属争议，也不将公告等同于社群审查完成。
- [OpenAI：纳维–斯托克斯论文](https://cdn.openai.com/pdf/32d9f210-8b73-45e0-91bc-82a30aef8a9a/navier-stokes.pdf) — 9 月 8 日发布。开篇和定理 1.1 说明正黏性、光滑紧支撑外力、静止初始状态、能量有界以及有限时间速度爆破。这是拟议定理的范围，并非我们的独立验证。
- [Charles Fefferman：纳维–斯托克斯问题官方说明](https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf) — 截至 9 月 22 日查阅的 Clay 官方表述。C 和 D 两种情形允许光滑外力；A 和 B 则提出无外力的光滑性问题。网页上传目录日期不等同于原始发表日期。
- [OpenAI：Euler 方程论文](https://cdn.openai.com/pdf/315b36cd-ec98-4023-8342-93345194ece1/euler.pdf) — 随 9 月 8 日材料发布。定理 1.1 讨论光滑、无外力的 Euler 初始数据，以及有限时间导数／涡量爆破。其方程与结论不能替换为另一项有外力的纳维–斯托克斯主张。
- [欧洲数学会：关于纳维–斯托克斯公告的声明](https://euromathsoc.org/news/ems-statement-on-recent-navier-stokes-announcement-225) — 9 月 10 日声明肯定了当代和更早期的数学贡献，并讨论访问权限和贡献归属。该文件提供机构背景，并非独立证明证书，也未解决所有优先权问题。
- [Clay 数学研究所：纳维–斯托克斯公告](https://www.claymath.org/news/navier-stokes-announcement/) — 9 月 11 日回应对表面上的解决进展采用审慎措辞，并说明有意从容的评估程序。这表明机构认真关注相关工作，并非宣布已颁发千禧年大奖。
- [Lean：《验证 Lean 证明》](https://lean-lang.org/doc/reference/latest/ValidatingProofs/) — 截至 9 月 22 日查阅的官方现行文档。区分证明有效性、命题含义、公理审计和更强检查方法。形式化检查在既定假设下提供特定保证，但不能确定新颖性、贡献归属或用途。
- [数学与人工智能咨询组](https://agmai.org/) — 该组于 9 月 21 日成立，同一声明也以客座文章形式发布在 Tao 的博客上。声明确立了该组无报酬、独立、承诺公开建议，并无权在公司内部决策的性质。更多成果仍归因于 OpenAI。
- [OpenAI：数学与 AI 咨询组](https://openai.com/index/advisory-group-on-mathematics-and-ai/) — 9 月 21 日公告介绍咨询范围，并明确排除就内部数学研究进度提供建议。由于本文未独立确立这些新增成果的整体正确性和新颖性，因此不采用公司所称的成果总数。
- [《数学与 AI：AI 在数学领域的严重失调》](https://mathandai.org/) — 9 月 11 日宣言。表达了数学家对理解、教育、贡献归属和激励机制的观点。它是学科参与者的倡议性声明，并非对所有 AI 使用影响的受控测量。
- [Henry Cohn：《AI 生成数学成果的技术债务》](https://terrytao.wordpress.com/2026/09/15/the-technical-debt-of-ai-generated-mathematics/) — Henry Cohn 于 9 月 15 日在 Tao 博客发表的客座文章，讨论解释成果和社群吸收成果所需的工作。我们将论点归于 Cohn，并将其与审查成本的实证估算区分开来。